Интегралов

Приведем один из способов вычисления определенных интегралов методом Монте—Карло—способ усреднения подынтегральной функции.

Требуется найти оценку I1* определенного интеграла

Рассмотрим случайную величину X, распределенную равномерно в интервале интегрирования (а, b)с плотностью f(х)=1/(b—а). Тогда математическое ожидание

Отсюда

Заменим математическое ожидание его оценкой—выборочной средней, получим оценку I1* искомого интеграла:

где xi—возможные значения случайной величины X. Так как величина Х распределена равномерно в интервале (а, b)с плотностью f(x)=1/(b—а), то хi, разыгрывают по формуле (см. гл. XXI, § 7, правило 2). Отсюда хi=а+(b—а)ri.

Пример. Наитии: а) оценку I1* определенного интеграла б) абсолютную погрешность |I-I1*|; в) минимальное число испытаний, которые с надежностью γ= 0,95 обеспечат верхнюю границу ошибки δ=0,1.

Решение. Используем формулу

По условию a=1, b==3, φ(х)=х+1. Примем для простоты число испытаний n=10. Тогда оценка

Результаты 10 испытаний приведены в табл. 36. Случайные числа взяты из приложения 9 с тремя знаками после запятой.

Таблица 36

Номер испытания i
r1 2r1 xi=1+2r1 0,100 0,200 1.200 0,973 1,946 2,946 0,253 0,506 1,506 0,376 0,752 1.752 0,520 1,040 2,040 0,135 0,270 1,270 0,863 1.726 2,726 0,467 0,934 1,934 0,354 0,708 1.708 0.876 1,752 2,752
φ(xi)=xi+1 2,200 3,946 2,506 2,752 3,040 2,270 3,726 2,934 2,708 3,752

Сложив числа последней строки таблицы, находим

Искомая оценка интеграла

I1*=2·(29,834/10) ==5,967.

б) Найдем абсолютную погрешность, приняв во внимание, что

| I- I1*|=6—5,967=0,033.

в) Найдем дисперсию усредняемой функции φ(Х)=Х+1, учитывая, что случайная величина Х в интервале интегрирования (1,3) распределена равномерно и ее дисперсия D(X)=(3—1)2/12 (см. гл. XII, § 1, пример 2):

σ2=D(X+1)=D(X)=1/3.

г) Найдем минимальное число испытаний, которые с надежностью 0,95 обеспечат верхнюю границу ошибки δ=0,1. Из равенства Ф(t)=0,95/2=0,475 по таблице приложения 2 находим t=1,96. Искомое минимальное число испытаний


4353003566285328.html
4353026908984496.html
    PR.RU™